注册 登录  
 加关注
查看详情
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

石门实验中学卢凯宾的博客

向前跑,迎着冷眼和嘲笑。

 
 
 

日志

 
 

计算几何中的精度问题(转)  

2016-04-18 15:31:41|  分类: 语法与技巧 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

lkb注:

今天的GDOI模拟赛day3中,第一题circle貌似卡精度,引发了lkb在内一堆选手的不爽。。。于是找到网上的这篇文章,共同学习,与各位共勉。

================================

计算几何头疼的地方一般在于代码量大和精度问题,代码量问题只要平时注意积累模板一般就不成问题了。精度问题则不好说,有时候一个精度问题就可能成为一道题的瓶颈,简直“画龙点睛”。这些年的题目基本是朝着越来越不卡精度的方向发展了,但是也不乏一些%^&%题#$%$^,另外有些常识不管题目卡不卡,都是应该知道的。今天我就开膛回顾下见过且还有印象的精度问题,由于本人见识和记忆均有限,望各位大神瞄过后不吝补充。另外,为了弥补我匮乏的文思,我可能乱扯些不太相关或者尽人皆知的东西凑数。那么,现在开始。

 

计算几何的精度问题说到底其实是浮点数的精度问题,但我觉得“计算几何”比“浮点数”更能吸引眼球,所以选了这个标题。

 

1.浮点数为啥会有精度问题:

 

浮点数(以C/C++为准),一般用的较多的是float, double。

 

 占字节数

 数值范围

 十进制精度位数

 float

 4

 -3.4e-38~3.4e38

 6~7

 double

 8

 -1.7e-308~1.7e308

 14~15

 如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低,一般选用double。14位的精度(是有效数字位,不是小数点后的位数)通常够用了。注意,问题来了,数据精度位数达到了14位,但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高,可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢?自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题:即使是理论上相同的值,由于是经过不同的运算过程得到的,他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响,却会一种运算产生致命的影响: ==。恩,就是判断相等。注意,C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main()

{

   double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;

   double b = acos(-1.0);

   printf("      a = %.20lf\n", a);

   printf("      b = %.20lf\n", b);

   printf(" a - b = %.20lf\n", a - b);

   printf("a == b = %d\n", a == b);

   return 0;

}

输出:

 

      a = 3.14159265358979360000

 

      b = 3.14159265358979310000

 

 a - b = 0.00000000000000044409

 

a == b = 0

 

我们解决的办法是引进eps,来辅助判断浮点数的相等。

 

2. eps

 

       eps缩写自epsilon,表示一个小量,但这个小量又要确保远大于浮点运算结果的不确定量。eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后,我们判断两浮点数a、b相等的方式如下:

 

定义三出口函数如下: 

int sgn(double a){

return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;

}

则各种判断大小的运算都应做如下修正:

 传统意义

 修正写法1

 修正写法2

 a == b

 sgn(a - b) == 0

 fabs(a – b) < eps

 a != b

 sgn(a - b) != 0

 fabs(a – b) > eps

 a < b

 sgn(a - b) < 0

 a – b < -eps

 a <= b

 sgn(a - b) <= 0

 a – b < eps

 a > b

 sgn(a - b) > 0

 a – b > eps

 a >= b

 sgn(a - b) >= 0

 a – b > -eps

这样,我们才能把相差非常近的浮点数判为相等;同时把确实相差较大(差值大于eps)的数判为不相等。

 

PS: 养成好习惯,尽量不要再对浮点数做==判断。例如,我的修正写法2里就没有出现==。

 

3. eps带来的函数越界

 

如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出来并传进来的,那就得小心了。

 

如果a本来应该是0的,由于浮点误差,可能实际是一个绝对值很小的负数(比如1e-12),这样sqrt(a)应得0的,直接因a不在定义域而出错。

 

类似地,如果a本来应该是±1,则asin(a)、acos(a)也有可能出错。

 

因此,对于此种函数,必需事先对a进行校正。

 

4. 输出陷阱I

 

这一节和下一节一样,都是因为题目要求输出浮点数,导致的问题。而且都和四舍五入有关。

 

说到四舍五入,就再扯一下相关内容,据我所知有三种常见的方法:

 

1. printf("%.3lf", a);  //保留a的三位小数,按照第四位四舍五入

 

2. (int)a;  //将a靠进0取整

 

3. ceil(a); floor(a);   //顾名思义,向上取、向下取整。需要注意的是,这两个函数都返回double,而非int

 

其中第一种很常见于输出(nonsense…)。

 

现在考虑一种情况,题目要求输出保留两位小数。有个case的正确答案的精确值是0.005,按理应该输出0.01,但你的结果可能是0.005000000001(恭喜),也有可能是0.004999999999(悲剧),如果按照printf("%.2lf", a)输出,那你的遭遇将和括号里的字相同。

 

解决办法是,如果a为正,则输出a+eps, 否则输出a-eps

 

典型案例: POJ2826

 

5. 输出陷阱II

 

ICPC题目输出有个不成文的规定(有时也成文),不要输出: -0.000

 

那我们首先要弄清,什么时候按printf("%.3lf\n", a)输出会出现这个结果。

 

直接给出结果好了:a∈(-0.000499999……, -0.000……1)

 

所以,如果你发现a落在这个范围内,请直接输出0.000。更保险的做法是用sprintf直接判断输出结果是不是-0.000再予处理。

 

典型案例:UVA746

 

6. 范围越界

 

这个严格来说不属于精度范畴了,不过凑数还是可以的。请注意,虽然double可以表示的数的范围很大,却不是不穷大,上面说过最大是1e308。所以有些时候你得小心了,比如做连乘的时候,必要的时候要换成对数的和。

 

典型案例:HDU3558

 

7. 关于set<T>

 

有时候我们可能会有这种需求,对浮点数进行 插入、查询是否插入过 的操作。手写hash表是一个方法(hash函数一样要小心设计),但set不是更方便吗。但set好像是按==来判重的呀?貌似行不通呢。经观察,set不是通过==来判断相等的,是通过<来进行的,具体说来,只要a<b 和 b<a 都不成立,就认为a和b相等,可以发现,

 

如果将小于定义成:

bool operator < (const Dat dat)const{

return val < dat.val - eps;

}

就可以解决问题了。 (基本类型不能重载运算符,所以封装了下)

 

8. 输入值波动过大

 

这种情况不常见,不过可以帮助你更熟悉eps。假如一道题输入说,给一个浮点数a, 1e-20 < a < 1e20。那你还敢用1e-8做eps么?合理的做法是把eps按照输入规模缩放到合适大小。

 

典型案例: HUSTOJ 1361

 

9. 一些建议

 

容易产生较大浮点误差的函数有asin、 acos。欢迎尽量使用atan2。

另外,如果数据明确说明是整数,而且范围不大的话,使用int或者long long代替double都是极佳选择,因为就不存在浮点误差了(尽管我几乎从来都只用double --!)

  评论这张
 
阅读(8)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2018